题解 P1357 花园

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题意:小$ L $有一座环形花园，沿花园的顺时针方向，他把各个花圃编号为 $1 \sim n$。花园 $1$ 和 $n$ 是相邻的。

他的环形花园每天都会换一个新花样，但他的花园都不外乎一个规则：任意相邻 $m$ 个花圃中都只有不超过 $k$ 个 C 形的花圃，其余花圃均为 P 形的花圃。

例如，若 $n=10$ , $m=5$ , $k=3$ ，则

  • CCPCPPPPCC 是一种不符合规则的花圃。
  • CCPPPPCPCP 是一种符合规则的花圃。

请帮小 L 求出符合规则的花园种数对 $10^9+7$ 取模的结果。

$2 \leq n \le 10^{15}$，$2 \leq m \leq \min(n, 5)$，$1 \leq k \lt m$。

<

我们用一个$m$位二进制数表示后$m$个花圃的状态，$1$表示为$M$.

那么令$f[i][j]$表示由状态$i$转移到状态$j$的方案数（$i$和$j$都合法，即1的个数不超过$k$）。($Floyd$矩阵)

所谓转移，是指如果$i$表示第$1$～$m$个花圃的状态，那么$j$代表第$2$～第$m+1$个花圃的状态。

那么怎么求得$f[i][j]$呢？

枚举一个长度为$m-1$的状态，在它前面加$0/1$即是$i$，在它后面加$0/1$即是$j$，在过程中判断$1$的个数会不会超过$k$即可。

由于是个环，所以实质上有$n+m$个花圃，第$n+1~n+m$个花圃就相当于第$1～m$个花圃，所以我们求的答案就是一个合法状态转移$n$次，转移回原状态的方案数之和。

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#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define re register
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mod 1000000007
using namespace std;
int n,m,k,t,o[39+39],ans;
struct node{
    int a[39+39][39+39];
    inline void init(){
        for (int i=0;i<=t;++i)
            for (int j=0;j<=t;++j)
                if (i==j)
                    a[i][i]=1;
                else a[i][j]=0;
    }
    inline void init0(){memset(a,0,sizeof(a));}
    friend node operator * (node a,node b){
        node c;c.init0();
        for (int i=0;i<=t;++i)
            for (int k=0;k<=t;++k)
                for (int j=0;j<=t;++j){
                    c.a[i][j]+=1ll*a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod;
                    if (c.a[i][j]>mod)c.a[i][j]-=mod;
                }
        return c;
    }
    friend node operator ^ (node a,int p){
        node res;
        res.init();
        while(p){
            if(p&1) res=res*a;
            p>>=1;
            a=a*a;
        }
        return res;
    }
}f;
inline int read(){
   int x=0,w=0;char ch=getchar();
   while (!isdigit(ch))w|=ch=='-',ch=getchar();
   while (isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
   return w?-x:x;
}
inline int count(int x){
    int res=0;
    while (x){
        res+=x&1;
        x>>=1;
    }
    return res;
}
signed main(){
    n=read(),m=read(),k=read();
    t=(1<<m)-1;
    for (int i=0;i<=t>>1;++i){
        int num=count(i);
        if (num<=k){
            o[i]=1,o[i<<1]=1;
            f.a[i][i<<1]=1;
        }
        if (num+1<=k){
            o[i|(1<<m-1)]=1,o[i<<1|1]=1;
            f.a[i][i<<1|1]=1;
            f.a[i|(1<<m-1)][i<<1]=1;
            f.a[i|(1<<m-1)][i<<1|1]=1;
        }
    }
    f=f^n;
    for (int i=0;i<=t;++i)
        if (o[i])
            ans=(ans+f.a[i][i])>=mod?ans+f.a[i][i]-mod:ans+f.a[i][i];
    cout<<ans;
    return 0;
}